מתמטריק
הוכחה: שני מעגלים חוסמים עם רדיוס שווה (חורף 2022 נבצרים, סעיף א)טריגונומטריה 571 · שיעור 33
חורף 2022 נבצרים, שאלה 5 · סעיף א

שיעור 32 – הוכחה: שני מעגלים חוסמים עם רדיוס שווה (חורף 2022 נבצרים, סעיף א)

פרק 5 – מה שואלים ב־571: סעיפי א מבגרויות 571
1נוסח השאלה
2סעיף א – רדיוסים שווים
📄 נוסח השאלה
בציור שלפניכם מתואר משולש שווה־שוקיים ABC, ‏AB = AC, שחסום במעגל שרדיוסו R. האריכו את הבסיס BC עד לנקודה D והעבירו ישר מהנקודה D לנקודה A.
נתון: ∢BAC = 2x , ∢CAD = x. (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן סימנו אותה ב־x.)
סרטוט שאלה 5: המשולש ABC במעגל והנקודה D
א. הוכיחו כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABD שווה לרדיוס המעגל החוסם את המשולש ACD.
סעיף א – רדיוסים שווים
נסמן ב־R1 את רדיוס המעגל החוסם את ABD, וב־R2 את רדיוס המעגל החוסם את ACD.
במשולש ABD, הצלע AD מול הזווית ABD:
ADsin∢ABC = 2R1
📐 משפט: משפט הסינוסים
במשולש ACD, הצלע AD מול הזווית ACD:
ADsin∢ACD = 2R2
📐 משפט: משפט הסינוסים
הזווית ACD צמודה לזווית ACB, ו־∢ACB = ∢ABC (זוויות בסיס):
📐 משפט: משפט הסינוסים
asin A = bsin B = csin C = 2R
📐 משפט: משפט הסינוסים
asin A = bsin B = csin C = 2R
סעיף א – רדיוסים שווים · המשך
הזווית ACD צמודה לזווית ACB, ו־∢ACB = ∢ABC (זוויות בסיס):
sin∢ACD = sin(180 − ∢ACB)
📐 נוסחה: זהות
sin∢ACD = sin∢ACB = sin∢ABC
נחזור למשוואה של המשולש ACD:
2R2 = ADsin∢ACD
נציב sin∢ACD = sin∢ABC:
📐 נוסחה: זהות
sin(180 − a) = sin a
סעיף א – רדיוסים שווים · המשך
נציב sin∢ACD = sin∢ABC:
2R2 = ADsin∢ABC = 2R1
R1 = R2
✅ פתרון סופי: הוכחה – R1 = R2

📌 סיכום התשובות

סעיף א
הוכחה
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא